Современная алгебра и приложения

Научные результаты:

• Решена проблема размерных подгрупп, поставленная в 1950–60-е гг.
• Получено функториальное описание алгебры Хопфа H_*(A,Z/2).
• Дано полное решение проблемы Боусфилда.
• Получены новые результаты в теории пределов в категориях свободных копредставлений, в частности новые описания fr-предложений, кодирующих функторы в категориях групп.
• Найдена серия трехмерных многообразий, которые попарно не гомологически эквивалентны, однако их группы имеют изоморфные пополнения.
• Доказано, что для любой ориентированной теории когомологий мотивное разложение такое же, как разложение некоторой (бесконечномерной) алгебры Гекке, которая строится по формальному групповому закону в прямую сумму своих идеалов.
• Доказана теорема о поднятии разложения функтора тензорной коалгебры на уровень нестабильной спектральной последовательности Адамса для пространств, являющихся надстройкой.
• Продолжены исследования связи спектральной теории графов групповых действий с теорией квазикристаллов, начатые Р. И. Григорчуком, Д. Ленцем и Т. В. Нагнибеда в 2015 г. При помощи новых комбинаторных методов была доказана теорема о Канторовском спектре Лебеговой мер нуль для операторов Шредингера и Якоби на широком классе символических динамических систем, включающем в себя сдвиги Штурма и простые сдвиги Теплица. За счет расширения класса динамических систем, для которых известна теорема о Канторовском спектре Лебеговой меры нуль, удалось решить вопрос о спектре неизотропных марковских операторов на графах Шрайера всех групп из несчетного семейства групп промежуточного роста, введенных Р. И. Григорчуком в 1984 г. Получен результат о нежесткости спектрального типа для оператора Лапласа на группе Григорчука в зависимости от выбора систем образующих.
• Для некоторых квазирасщепимых редуктивных групп G над общим полем F построен автоморфизм i группы G над F, который корректно определен как элемент фактора по внутренним автоморфизмам. Автоморфизм i обобщает (только для квазирасщепимых групп) инволюцию, построенную Моеглиным, Вигнерасом и Валдспургером для классических групп, которая посылает неприводимое допустимое представление G(F) для классической группы G и локального поля F в двойственное (контраградиентное) представление.
• Сформулирована гипотеза про контраградиентное представление неприводимого допустимого представления G(F) для редуктивной алгебраической группы G над локальным полем F в терминах (повышенного) параметра Ленглендса представления.
• Доказано, что теорема Шеллаха и Барнера не верна при n=2.