Многомерная аппроксимация и приложения

Научные результаты:

• Предложен единый метод анализа жадных алгоритмов как в гильбертовом, так и в банаховом пространствах. Определен и проанализирован новый класс алгоритмов – слабые биортогональные жадные алгоритмы, включающий как частные случаи такие важные алгоритмы, как слабый жадный чебышевский и жадный алгоритм со свободной релаксацией. Определен и исследован новый полезный алгоритм – масштабированный слабый релаксационный алгоритм. Получены теоремы сходимости и оценки скорости сходимости таких алгоритмов.
• Изучена эффективность жадных алгоритмов относительно специальных словарей. Получены неравенства типа Лебега для словарей со специальной структурой, начиная с различного вида базисов и заканчивая переполненными словарями, удовлетворяющими условию более общему, чем условие ограниченной изометрии.
• Доказано существование специальных множеств точек, которые обеспечивают дискретизацию норм тригонометрических полиномов с гармониками из параллелепипедов различной формы. Показано, что построенные множества оптимальны по порядку по количеству точек. Предложен общий метод построения сеток для хорошей (оптимальной с точностью до log множителя по количеству) дискретизации элементов конечномерного подпространства. Изучена дисперсия специальных сеток (Фибоначчи и Фролова). Доказано, что эти множества имеют оптимальную по порядку дисперсию. Введено и подробно изучено понятие дискрепанса фиксированного объема (более тонкое по сравнению с обычной дисперсией). Подготовлена работа, в которой изучается связь таких фундаментальных понятий, как численное интегрирование, дискрепанс и нелинейные приближения.
• Доказано, что существует последовательность ненулевых тригонометрических полиномов, записанных в комплексной форме, с натуральными коэффициентами, сходящаяся к нулю почти всюду; доказано, что найдется функция, линейные комбинации сдвигов которой с единичными коэффициентами плотны в пространствах, интегрируемых в степени p действительных функций на прямой для всех p не меньше 2. Получены нижние оценки L-норм экспоненциальных сумм.
• Исследованы плотности наипростейших дробей (логарифмических производных многочленов) с полюсами на границе неограниченной односвязной области D-комплексной плоскости в пространстве A(D) функций, голоморфных внутри D. Получены различные условия, необходимые или достаточные для этой плотности. Доказано, что в случае полосы D наипростейшие дроби с полюсами на границе D плотны в A(D), и получены оценки скорости приближения конкретных функций на компактах внутри полосы. Соответствующая работа готовится к печати.
• Исследованы некоторые свойства гладких сумм ридж-функций (плоских волн), определенных на выпуклом теле. Были изучены свойства гладкости рассматриваемых сумм при выполнении условия Дини на модули непрерывности частных производных порядка n.
• Была установлена эквивалентность важных задач о приближении верхнетреугольной матрицы с единицами над диагональю матрицами малого ранга и нахождении колмогоровского поперечника косого октаэдра. Исследован специальный случайный метод приближения в этой задаче, для которого получены точные по порядку оценки погрешности.

Образование и переподготовка кадров:

• Защиты: 1 кандидатская диссертация.

• Прочитаны новые спецкурсы «Выпуклая геометрия и задачи сжатых измерений» и «Теория приближений и приложения» для студентов механико-математического факультета МГУ.

• Организовано два семинара при лаборатории, проведен ряд заседаний этих семинаров.

• Проведена Международная конференция «High-dimensional approximation and discretization» (с 23.09 по 29.09.2018), в которой приняли участие около 50 человек (в том числе из Германии, Франции, Австрии, Великобритании, Казахстана).

Сотрудничество:

Центр хранения и анализа больших данных МГУ имени М. В. Ломоносова (Россия), Университет Южной Каролины (США): совместные исследования