Лаборатория "Вероятностные методы в анализе"

Название проекта: Вероятностные методы в анализе: точечные процессы, операторы и пространства голоморфных функций

Цель проекта состоит в развитии современных направлений в области математического анализа в рамках Санкт-Петербургского государственного университета. Предлагается рассмотреть новые взаимосвязи теории вероятности и анализа, возникающие при изучении детерминантных процессов и связанных с ними областей, и их связи с конформной теорией поля. Основные направления исследования и связанные с ними задачи:

1. Детерминантные процессы, возникающие из физических моделей. Предполагается изучить детерминантные процессы на плоскости и проанализировать соответствующие корреляционные ядра. Изучить поведение модели кулоновского газа вблизи спектральной границы и поведение моделей более высоких уровней Ландау (полианалитические ансамбли Жинибра).

2. Обратная задача теории потенциала и функции Шварца. В классической модели случайной нормальной матрицы предполагается изучить равновесные меры ансамбля соответствующего кулоновского газа. Предполагается использовать методы комплексной динамики, чтобы ответить на некоторые фундаментальные вопросы, касающиеся формы капель (носителей равновесных мер), а также их изменений при изменении потенциала (например, рост лапласиана).

3. Исследования в области принципа неопределенности в гармоническом анализе. В эту область входят задачи о полноте экспонент и полиномов, сформулированные Винером и Колмогоровым более 70 лет назад, обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов и канонических систем Крейна, теория пространств целых функций де Бранжа, классические проблемы теории стационарных гауссовских процессов, проблемы обработки сигналов и т. д., а также их современные обобщения и приложения.

4. Развитие теории возмущений линейных операторов. Цель этой части проекта состоит в исследовании вопроса о том, насколькo могут отличаться функции возмущённого оператора от функций исходного оператора в зависимости от свойств возмущения и функции. Аналогичные задачи возникают и при изучении функций от нескольких (коммутирующих и не обязательно коммутирующих) операторов.