Лаборатория математической гидродинамики научно-исследовательского института математики

Научные результаты:

• Доказана теорема существования слабого решения задачи со свободной границей для уравнений динамики вязкого газа, моделирующей движение тяжелого поршня в цилиндре под действием давления вязкого газа.
• Доказана глобальная теорема о существовании и единственности сильного решения одномерной начально-краевой задачи о движении многоскоростных смесей вязких сжимаемых жидкостей с недиагональной матрицей вязкостей в ограниченной области с условиями прилипания ее составляющих на границе.
• Доказана теорема существования и регулярности решений в задаче о совместной минимизации функционалов Уиллмора и Дирихле. Доказано существование трехмерных, гидроупругих, нелинейных периодических волн, распространяющихся по бассейну бесконечной глубины.
• Доказан закон Бернулли для осесимметричных соболевских решений уравнения Эйлера в неограниченных областях.
• Доказано утверждение о сходимости траекторного аттрактора диссипативной 2D системы Навье-Стокса в пределе при вязкости, стремящейся к нулю, к траекторному аттрактору соответствующей диссипативной 2D системы Эйлера в сильной Хаусдорфовой метрике.
• Доказаны теоремы существования слабых решений дробной модели вязкоупругости Фойгта с памятью вдоль траекторий движения и начально-краевой задачи для системы гидродинамики с памятью, являющейся дробным аналогом модели вязкоупругости Фойгта. Доказано существование слабого решения начально-краевой задачи, описывающей динамику вязкоупругой среды с памятью на бесконечном интервале. Доказано существование единственного решения начально-краевой задачи для систем гидродинамики с памятью, описываемых вырождающимися эллиптическими и параболическими уравнениями. Доказана теорема существования слабых решений моделей движения жидкости Бингама. Доказаны теоремы существования аттракторов решений автономных систем гидродинамики с памятью и аттракторов модели движения жидкости Бингама.
• Доказаны теоремы существования слабых и диссипативных решений, а также указана связь сильных и диссипативных решений, альфа-моделей движения жидкости с памятью. Доказана теорема существования слабых решений модели Павловского-Осколкова. Доказана теорема существования диссипативных решений (указана связь сильных и диссипативных решений) начально-краевой задачи для альфа-модели Джеффриса-Олдройда. Доказана теорема существования слабых решений альфа-модели движения растворов полимеров.
• Описана теория управления системой нормального типа, связанной с уравнением Гельмгольца, посредством стартового и импульсного управлений. Описан разработанный нелокальный метод стабилизации трехмерных систем Гельмгольца и Навье-Стокса посредством импульсного управления.
• Доказана теорема о равномерной экспоненциальной устойчивости сильно непрерывной полугруппы ограниченных операторов, генерируемой операторным блоком специального вида. Решены две задачи механики сплошных сред (о движении вязкоупругого тела и о малых движениях вязкоупругой сжимаемой жидкости Максвелла, заполняющей ограниченную равномерно вращающуюся область) с использованием указанной теоремы.
• Описана строгая теория потоков градиента и геодезической выпуклости относительно геометрической структуры, связанной с этой метрикой. Описана вариационная схема де Джорджи-Джордана-Киндерлерера-Отто для построения решений для указанных потоков градиента. Описаны новые свойства уравнений Гамильтона-Якоби, которые характеризуют геодезические в рассмотренной HKW-геометрической структуре и установлены связи с теорией Обри-Мэтера.
• Описана разработанная теория внутренних волн Пуанкаре и Кельвина в области с переменной глубиной и криволинейной границей. Проанализированы возможности генерации внутренних волн. Описаны разработанные модели и компьютерные средства решения задач генерации и распространения внутренних волн Пуанкаре и Кельвина, основанные на нелинейных уравнениях мелкой воды для слоистого течения жидкости с массообменом.
• Построена иерархия математических моделей, описывающих волновую динамику океанической среды с учетом особенностей топографии, дисперсии и обрушения внутренних волн. Проведен анализ и систематизация натурных данных, полученных в различных районах мирового океана. При этом использованы новейшие данные о глубоководных течениях в Атлантике (канал Вима, разломы Романш и Чейн, проход Дискавери), а также о трансформации внутренних волн в шельфовой зоне Японского и Южно-Китайского морей. Описана разработанная численно-аналитическая модель внутренних волн в океане, учитывающая региональные особенности натурных экспериментальных данных. Разработана математическая модель типа Грина-Нагди и Кортевега-де Фриза для описания сильно нелинейных внутренних волн, учитывающая тонкую стратификацию поля плотности и амплитудную дисперсию. Систематизированы особенности формирования внутренних волн в зависимости от региона. Получена асимптотика решений по времени для нелинейных уравнений, описывающих распространение нестационарных внутренних волн в стратифицированной жидкости, вызванных движением погруженного тела под ледовым покровом.

Образование и переподготовка кадров:

• 5 сотрудников лаборатории прошли повышение квалификации в Международном центре математики (International Center for Mathematics) (Португалия)

• Проведена международная научная конференция «Современные методы и проблемы математической гидродинамики» в 2017 году и «Современные методы и проблемы математической гидродинамики-2018» в 2018 году.

• Проведен научный семинар «Математические модели сдвиговых течений мелкой воды» с приглашенным лектором из Университета Марселя.

• Защиты: 1 кандидатская диссертация, 3 магистерских диссертации, 4 выпускных квалификационных работы бакалавра, 3 поступления в аспирантуру (из членов коллектива).

• Созданы и внедрены в учебный процесс математического факультета Воронежского государственного университета четыре лекционных курса: «Приложения теории дифференциальных уравнений к геометрии», «Уравнения Навье-Стокса сжимаемой жидкости», «Приложения дифференциальных включений к задачам оптимального управления», «Математические модели Павловского движения полимерных растворов».

Другие результаты:

Сотрудники лаборатории приняли участие в 18 международных конференциях, конгрессах, научных школах и сделали 51 доклад.