Мы используем cookie файлы.
Пользуясь сайтом, вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Номер договора
075-15-2021-602
Период реализации проекта
2021-2023

По данным на 01.11.2022

18
Количество специалистов
6
научных публикаций
Общая информация

Название проекта: Вероятностные методы в анализе: точечные процессы, операторы и пространства голоморфных функций

Цели и задачи

Цель проекта состоит в развитии современных направлений в области математического анализа в рамках Санкт-Петербургского государственного университета. Предлагается рассмотреть новые взаимосвязи теории вероятности и анализа, возникающие при изучении детерминантных процессов и связанных с ними областей, и их связи с конформной теорией поля. Основные направления исследования и связанные с ними задачи:

  1. Детерминантные процессы, возникающие из физических моделей. Предполагается изучить детерминантные процессы на плоскости и проанализировать соответствующие корреляционные ядра. Изучить поведение модели кулоновского газа вблизи спектральной границы и поведение моделей более высоких уровней Ландау (полианалитические ансамбли Жинибра).

  2. Обратная задача теории потенциала и функции Шварца. В классической модели случайной нормальной матрицы предполагается изучить равновесные меры ансамбля соответствующего кулоновского газа. Предполагается использовать методы комплексной динамики, чтобы ответить на некоторые фундаментальные вопросы, касающиеся формы капель (носителей равновесных мер), а также их изменений при изменении потенциала (например, рост лапласиана).

  3. Исследования в области принципа неопределенности в гармоническом анализе. В эту область входят задачи о полноте экспонент и полиномов, сформулированные Винером и Колмогоровым более 70 лет назад, обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов и канонических систем Крейна, теория пространств целых функций де Бранжа, классические проблемы теории стационарных гауссовских процессов, проблемы обработки сигналов и т. д., а также их современные обобщения и приложения.

  4. Развитие теории возмущений линейных операторов. Цель этой части проекта состоит в исследовании вопроса о том, насколькo могут отличаться функции возмущённого оператора от функций исходного оператора в зависимости от свойств возмущения и функции. Аналогичные задачи возникают и при изучении функций от нескольких (коммутирующих и не обязательно коммутирующих) операторов.

Практическое значение исследования

Научные результаты:

Ведущим ученым и коллективом лаборатории проводились работы по изучению детерминантных процессов на прямой в точках спектральной границы, анализу однопараметрических функций Шварца и связанных с ними динамических систем, исследовались возмущения неограниченных несамосопряженных операторов, задачам сэмплинга в пространствах аналитических функций. Исследовались проблемы единственности (а также и связанные с ними задачи интерполяции и сэмплинга) для класса гильбертовых пространств аналитических функций с воспроизводящим ядром. Именно для конечного подмножества области $\\Omega$ изучены условия убывания (к нулю) некоторого (бесконечного) набора производных данной функции в этих точках, соответственно, задача состоит в установлении невырожденности решения. Для классического пространства Баргманна-Фока изучена модель в двухточечном случае - в нуле исчезают все четные производные у функции этого класса и все нечетные у некоторого фоковского сдвига. Оказалось, что единственное решение такой задачи тривиально, более того, для подобного разбиения целых чисел нет ни сэмплинга, ни интерполяции, иначе говоря, получено в некотором смысле граничное множество. Участники научного коллектива исследовали одномерную задачу об описании точек ограниченной радиальной вариации для граничных значений типа канторовского множества в терминах порождающей последовательности. В 1993 году Бургейн показал, что множество точек конечной вертикальной вариации положительной гармонической функции в верхней полуплоскости имеет полную размерность, тем самым ответив на известный вопрос Рудина (1955). Эти результаты были обобщены членами научного коллектива на области в $R^n$ (они применяются в работах Джонса и Мюллера, и Мюллера и Риглер, посвященных гипотезе Андерсона). Была рассмотрена конкретная, довольно сложно устроенная, граничная функция $f$ (гармоническое продолжение которой и есть $u$) и предъявлены явные условия для конечности вертикальной вариации. В ходе работы решена нелинейная задача Римана-Гильберта при помощи обобщения $\\bar{\\partial}$-подхода Итса-Тахтаджяна. Проведено исследование диагональных сужений ядра Бергмана, соответствующих корреляционным ядрам для случайных матриц. Получено асимптотическое разложение ортогональных многочленов для пространств Бергмана с весом $e^{-2mQ}$, где $Q$ - удерживающий двумерный потенциал. Получено условие нейтральности на фоновые заряды с использованием обобщения теоремы Гаусса-Бонне на плоские метрики с коническими особенностями в отмеченных точках. Исследованы представляющие семейства воспроизводящих ядер в пространствах аналитических функций в круге. Решена одномерная задача об описании точек ограниченной радиальной вариации для граничных значений типа канторовского множества в терминах порождающей последовательности.

Внедрение результатов исследования:

Были получены результаты исследований в области принципа неопределенности в задачах цветокоррекции, проведенные на базе совместной лаборатории СПбГУ-Хуавей: исследовались преобразования между цветовыми пространствами RGB И XYZ, предложены несколько типов таких преобразований, а также варианты функции цены и алгоритмы для нахождения ее глобального минимума с проверкой на массиве реальных данных. Область использования: задачи поиска алгоритмов линейных преобразований с заданными ограничениями, пересчета таблиц цветов с дифференциацией различных цветовых параметров.

Образование и переподготовка кадров:

  • Организованы и проведены следующие научные мероприятия: конференции «Complex and Harmonic Analysis and Its Applications» (Санкт-Петербург, 23-26 ноября 2021 г.), «Probabilistic Techniques in Analysis: Spaces of Holomorphic functions» (Сочи, 06-10 декабря 2021 г.), «Probabilistic Techniques in Analysis: Reproducing kernel Hilbert spaces» (Сочи, 20-25 октября 2022).
  • Лабораторией проводится семинар по вероятности, гармоническому и комплексному анализу https://math-cs.spbu.ru/pta-seminar/

Сотрудничество:

  • Математический центр «Сириус» (Россия): совместное проведение конференций.
  • Санкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера (Россия): участие сотрудников института в конференциях и семинаре, организовываемых лабораторией.

Скрыть Показать полностью
Yu. Belov, Yu. Lyubarskii, A. Kulikov
Irregular Gabor frames of Cauchy kernels. Applied and Computational Harmonic Analysis, Vol. 57, 2022
P. Barkhayev, Yu. Belov, Yu. Lyubarskii
Summation Method In Optimal Control Problem With Delay. Algebra and Analysis, Vol. 34, № 3, December 2022
Anton Baranov, Yurii Belov, Karlheinz Gröchenig
Complete interpolating sequences for the Gaussian shift-invariant space. Applied and Computational Harmonic Analysis, Vol. 61, July 2022
A. G. Abanov and P. B. Wiegmann
Axial-Current Anomaly in Euler Fluids. Physical Review Letters, Vol. 128, February 2022
А.Б. Александров, В.В. Пеллер
Функции от возмущенных пар некоммутирующих диссипативных операторов. Алгебра и анализ, Т. 34, № 3, 2022.
А. Д. Баранов, И. Р. Каюмов
Оценки интегралов от производных рациональных функций в многосвязных областях на плоскости. Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2022, 86
Другие лаборатории и ученые
Лаборатория, принимающая организация
Область наук
Город
Приглашенный ученый
Период реализации проекта
Лаборатория «Нелинейные и нелокальные задачи для уравнений в частных производных и их приложения»

Российский университет дружбы народов - (РУДН)

Математика

Москва

Куксин Сергей Борисович

Россия, Франция

2022-2024

Лаборатория междисциплинарных проблем энергетики

Ульяновский государственный технический университет - (УлГТУ)

Математика

Ульяновск

Симос Теодор Елиас

Греция

2021-2023

Международная лаборатория кластерной геометрии

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» - (ВШЭ)

Математика

Москва

Шапиро Михаил Залманович

Россия, США

2021-2023