Мы используем cookie файлы.
Пользуясь сайтом, вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Приглашенный ученый Аграчев Андрей Александрович Россия
Номер договора
14.B25.31.0029
Период реализации проекта
2013-2015
16
Количество специалистов
32
научных публикаций
14
Объектов интеллектуальной собственности
Общая информация

Исследования лаборатории направлены на получение новых геометрических и аналитических средств для решения сложных проблем в геометрической теории управления и анализе на метрических структурах. Результаты проекта имеют теоретический характер. На данном этапе исследований проводится апробация разработанных методов и подходов для решения ряда прикладных задач.


Название проекта: Геометрическая теория управления и анализ на метрических структурах

Приоритет СНТР: а




Цели и задачи

Направления исследований:

  • Вопросы метрического анализа, геометрической теории управления и дифференциальной геометрии на римановых и неголономных структурах и вопросы их применения к теории оптимального управления
  • Оптимизация на бесконечном интервале времени и долговременное поведение диссипативных систем, исследование анизотропной диффузии, управляемой гипоэллиптическим уравнением
  • Применение методов геометрической теории управления к решению прикладных задач: управление конфигурацией движущегося тела, восстановление изображения и управление квантовыми системами

Цель проекта: Получение новых мощных геометрических и аналитических средств для решения сложных проблем в геометрической теории управления и анализе на метрических структурах, а также применение полученных результатов к проблемам смежных разделов чистой математики и в прикладных областях знаний



Практическое значение исследования
  • Операторы кривизны явно вычислены и подробно изучены для многомерных контактных субримановых многообразий. 
  • Получена формула площади отображений-графиков на пятимерных сублоренцевых структурах с двумя «отрицательными» направлениями разной степени.
  • Предложены универсальные методы поиска нормальных геодезических на группах Ли с левоинвариантной (суб)римановой метрикой. 
  • Исследована задача минимизации функционала энергии на новом классе отображений сравнительно с классами, исследуемыми ранее.
  • В классе осесимметричных пространственных течений доказана разрешимость краевой задачи   для стационарной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченных (внешних) областях с неоднородными граничными данными, при отсутствии традиционных предположений о малости потоков жидкости через компоненты границы. Полностью (в осесимметричном случае) решена проблема, которая оставалась открытой свыше 80 лет (начиная со знаменитой публикации Ж.Лерэ 1933 г.
  • Разработан оригинальный метод лифтинга векторных полей, позволяющий получить как новые результаты, так и существенно упрощённые доказательства существующих.
  • Получено описание изоморфных операторов композиции классов Соболева на пространствах Карно-Каратеодори.
  • Получены необходимые и достаточные условия, при которых гомеоморфизм областей в евклидовом пространстве порождает ограниченный оператор вложения пространств Орлича–Соболева, определенных специальным классом N-функций.
  • Изучена структура экстремалей в задаче поиска светового конуса в сублоренцевой геометрии на группе Энгеля.
  • Найдены основные геометрические объекты для всех групп Ли, локально изометрично накрывающих группу Ли SO_2(2,1) с левоинвариантной субримановой метрикой, инвариантной относительно правых сдвигов на элементы подгруппы SO(2). Эти результаты выражены в терминах матричных элементов соответствующих групп Ли.
  • Изучаются метрические свойства измеримых отображений на группе Карно, индуцирующих по правилу замены переменной изоморфизмы пространств Соболева. Доказано, что такое отображение можно переопределить на множестве меры нуль так, что оно будет либо квазиконформным, когда показатель суммируемости совпадает с хаусдорфовой размерностью группы, либо квазиизометрическим, когда показатель суммируемости отличен от хаусдорфовой размерности группы.
  • Для класса пространственноподобных поверхностей-графиков на двуступенчатых четырехмерных сублоренцевых структурах установлена формула площади, а также получены описания базовых свойств максимальных поверхностей, в том числе, и в терминах сублоренцевой средней кривизны.
  • Доказано, что условия (q1,1)- и (1, q2)-квазиметричности функции расстояния являются достаточными для существования 1-квазиметрики, билипшицево ей эквивалентной. Доказано существование (q1, q2)-квазиметрик, для которых не существует 1-квазиметрик, липшицево им эквивалентных, откуда, в частности, вытекает другое доказательство известного результата В. Шредера. Доказана теорема регуляризации (q1, q2)-квазиметрик, обобщающая результаты соответствующие результаты R.A. Masias, C. Segovia и R. Alvarado, M. Mitrea. Изучены аксиомы отделимости на lim-слабо симметрических (q1, q2)-квазиметрических пространствах.
  • Установлена формула площади для классов гёльдеровых отображений групп Карно. Основным инструментом исследования является введенное автором понятие полиномиальной субримановой дифференцируемости.
  • Дано исчерпывающее описание граничных значений конформных отображений плоских конечносвязных областей в терминах конформных модулей (экстремальных длин) пар граничных компонент рассматриваемой области в том случае, когда связность ее меньше либо равна 3.

Внедрение результатов исследования: Результаты имеют, в основном, теоретическое значение.

Образование и подготовка кадров:

Лабораторией был разработан и внедрен учебный курс «Теория оптимального управления» для студентов 4 курса ММФ НГУ;

Проведены 2 научных школы:

«Школа-семинар по динамическим системам, геометрии и теории управления на озере Байкал» (2015)

«Геометрическая теория управления и анализ на метрических структурах» (2014)

и 22 научных семинара:

«Субриманова геометрия и геометрическая теория управления» (С.К. Водопьянов),

«Стохастическое уравнение Бюргерса» (С.Б. Куксин),

«Введение в выпуклый и многозначный анализ. Принцип Лагранжа в теории экстремума» (А.В. Арутюнов),

«Введение в теорию оптимального управления» (А.В. Сарычев),

«Фредгольмовость и компактность в некоторых вариационных задачах» (А. Барри),

«Особенности в геометрии и теории управления» (А.О. Ремизов),

«Кратчайшие и расстояния для специальных левоинвариантных субримановых метрик на SO(3) и SO(2, 1)» (В.Н. Берестовский),

«Геометрия мер на пространствах конфигураций» (А. И. Буфетов),

«Введение в теорию управления квантовыми системами» (А. Н. Печень),

«Лагранжева и гамильтонова механика на многообразиях» (И.А. Богаевский),

«Динамика потоков Риба и симплектическая жесткость» (А. Аббондандоло),

«Особые траектории в теории оптимального управления» (Л.В. Локуциевский),

«Дифференциально-геометрические свойства комплексных аналитических множеств» (А.К. Цих),

«Управление и перемешивание для нелинейных уравнений» (А.Р. Ширикян),

«Научная сессия лаборатории геометрической теории управления»

«Диффузия на субримановых многообразиях» (У. Боскаин),

«Неравенства, связывающие кривизну и размерность, в субримановой геометрии и их приложения» (Н. Гарофало);

«По ту сторону абсолюта гиперболических пространств (Аксиомы инцидентности для границы на бесконечности комплексных гиперболических пространств)» (С.В. Буяло),

«Метрические свойства линий уровня дифференцируемых отображений на группах Карно» (А. Кожевников),

«Теория гипоэллиптических и условно гипоэллиптических дифференциальных операторов» (В.И. Буренков),

«Особые экстремали в задачах с многомерным управлением» (Л.В. Локуциевский),

«Движение робота» (Ж.-П. Ломонд).

В лаборатории прошли профессиональную переподготовку или повышение квалификации 39 молодых ученых из Новосибирского, Алтайского, Горно-Алтайского государственных университетов, Новосибирского государственного технического университета, МИ АН, ИДТСТУ СО РАН, Технического университета Эйндховена (Нидерланды) и LATP (Франция);

Подготовлены 8 кандидатов и 1 доктор наук. 

Организационные и инфраструктурные преобразования

На базе лаборатории создан региональный математический центр при Новосибирском государственном университете (см. сайт https://rmc.nsu.ru/). Центр создан по инициативе механико-математического факультета НГУ и С.К. Водопьянова в соответствии с проектом Минобрнауки по созданию региональных научно-образовательных математических центров, инициированного пунктом 31 Стратегии научно-технологического развития Российской Федерации, утвержденной Президентом Российской Федерации 1 декабря 2016 г. № 642.
Проведенные исследования и установленные международные и российские научные контакты в значительной степени повлияли на создание Регионального математического центра НГУ, с основной научной группой по геометрической теории управления и геометрическому анализу под руководством С.К. Водопьянова. С ведущим ученым А.А. Аграчевым и другими учеными, вовлеченными в деятельность лаборатории, до сих пор ведется активное взаимодействие. В настоящее время сотрудничество направлено на научно-учебные цели – при поддержке РМЦ проводятся курсы лекций и научные семинары для студентов и молодых ученых.

Сотрудничество: 

The International School for Advanced Studies (SISSA) Trieste, Italy - Стажировки молодых ученых

Geometric Control Design Centre de Mathématiques Appliquées, Ecole Polytechnique, France - Совместные исследования; Стажировки молодых ученых

Steklov Mathematical Institute of RAS Moscow, Russia - Совместные научные мероприятия

Control Processes Research Center Program System Institute, Pereslavl, Russia - Совместные научные мероприятия

Горно-Алтайский государственный университет, Горно-Алтайск, Россия - Совместные научные мероприятия



Скрыть Показать полностью
Берестовский В. Н.
Универсальные методы поиска нормальных геодезических на группах Ли с левоинвариантной субримановой метрикой // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 5. C. 959-970.
Journal of Dynamical and Control Systems. 2014. V. 20, № 1. P. 123-148.
Selivanova S. Metric Geometry of Nonregular Weighted Carnot–Carathéodory Spaces
Докл. АН. 2015. Т. 464, № 2. С.131-135.
Водопьянов С. К., Евсеев Н. А. Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и метрические свойства отображений
Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, № 5. C. 989-1029.
Водопьянов С.К., Eвceeв Н.А. Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и квазиконформные отображения
Водопьянов С.К., Молчанова А.О. // Докл. АН. 2015. Т.~465, №~5. С.~523--526.
Вариационные задачи нелинейной теории упругости в некоторых классах отображений с конечным искажением
Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, No 5. С. 1068-1091.
Карманова М.Б. Формула площади графиков на 4-мерных 2-ступенчатых сублоренцевых структурах
Korobkov M.V., Pileckas K., Russo R.// Ann. of Math., 2015, Vol. 181, No. 2, 769–807.
Solution of Leray's problem for stationary Navier-Stokes equations in plane and axially symmetric spatial domains
Bourgain J., Korobkov M.V., Kristensen J. // Periodica Mathematica Hungarica, 2016, vol. 72, no. 2, pp. 252-257.
On the Morse--Sard property and level sets of $W^{n,1}$ Sobolev functions on $\mathbb R^n$ // Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 2015, Vol.2015, No. 700, 93–112.
Водопьянов С.К. // Докл. РАН. 2016. Т. 468, № 6. С. 609--613.
Agrachev, A.A. Tangent Hyperplanes to Subriemannian Balls, J. Dyn. Control Syst. (2016) 22: 683-692.
Арутюнов А. В., Грешнов А. В.
Alexandrov V. An analogue of a theorem of van der Waerden, and its application to two-distance preserving mappings
Берестовский В.~Н., Зубарева И.А.
О допустимых заменах переменных для функций классов Соболева на (суб)римановых многообразиях Korobkov M.V., Tsai T.-P. Forward Self-Similar Solutions of the Navier-Stokes Equations in the Half Space // Analysis and PDE, 2016, V.9, No.8.
Водопьянов С.К., Тюленев А.И.
Точки совпадения многозначных отображений в (q1,q2)-квазиметрических пространствах // ДАН. 2017. Т. 476, № 2. С.129–132.
Водопьянов С.К., Кудрявцева Н.А.
Субриманово расстояние в группе Ли SL(2) // Сибирский математический журнал, 2017, Т. 58, № 1, С. 22 –35.
Карманова М. Б.
О проблеме Уитни для весовых пространств Соболева // Докл. Академии наук. 2017. Т. 472, № 6. С. 634 – 638.
Другие лаборатории и ученые
Лаборатория, принимающая организация
Область наук
Город
Приглашенный ученый
Период реализации проекта
Лаборатория комбинаторных и геометрических структур

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)»

Математика и механика

Долгопрудный

Пах Янош

США, Венгрия

2019-2021

Международная лаборатория динамических систем и приложений

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный Исследовательский Университет "Высшая Школа Экономики"

Математика и механика

Нижний Новгород

Тураев Дмитрий Владимирович

Израиль, Россия

2019-2021

Научно-исследовательская лаборатория проблем прочности, динамики и ресурса

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского»

Математика и механика

Нижний Новгород

Делль Изола Франческо

Италия

2018-2020