МЕГАГРАНТЫ

Лаборатория комплексного анализа и дифференциальных уравнений

О лаборатории

Наименование проекта Многомерный комплексный анализ и дифференциальные уравнения

Ссылка на сайт лаборатории

№ договора:
14.Y26.31.0006

Наименование ВУЗа:
ФГАОУ ВПО «Сибирский Федеральный Университет»

Области научных исследований:
Математика

Цель проекта:

Проведение исследований мирового уровня в области многомерного комплексного анализа и дифференциальных уравнений и решения ряда открытых проблем
фундаментального характера с помощью новых интегральных методов.

В рамках гранта детально исследуются гипергеометрические D-модули. Решения таких модулей содержат общие алгебраические функции, а также значительное число специальных функций современной математической физики. Упомянутая передача информации позволят сформировать новый язык для реализации аналитических продолжений общих алгебраических функций, а также гипергеометрических функций многих переменных. Для реализации этой программы будет развита теория многомерных вычетов, а также теория распределения алгебраических множеств на основе понятий амебы и коамебы — вещественной и мнимой части образа алгебраического множества в логарифмической шкале.
Изучение некорректных краевых задач для эллиптических уравнений обычно проводится с помощью метода интегральных представлений и метода аналитического продолжения. Наряду со спектральной теорией самосопряженных операторов эти методы позволяют построить конструктивные формулы Карлемана для эллиптических систем и комплексов. В рамках проекта будут исследованы некорректные задачи для параболических уравнений.
Для построения новых примеров интегрируемых двумерных уравнений Шрёдингера было успешно применено преобразование Мутара, широко известное в классической дифференциальной геометрии. Планируется продолжить исследование спектральных свойств получаемых при этом потенциалов, их связь с прямыми и обратными задачами теории рассеяния.
Теорема де Франкиса (1913) утверждает, что число голоморфных отображений между римановыми поверхностями различных родов больших единиц конечно.
Точная верхняя граница для этого числа до сих пор неизвестна, и ее поиск представляет собой известную проблему. В рамках проекта планируется оценить число голоморфных отображений в случае, когда обе поверхности гиперэллиптические.
В различных дискретизациях римановых поверхностей их роль играют графы, а голоморфные отображения заменяются гармоническими. Родом графа называется
размерность его группы гомологий. В таких условиях можно доказать аналоги теорем Римана-Гурвица и Римана-Роха. Планируется найти дискретные аналоги классических теорем Гурвица, Вимана и др. для оценки размера конечной группы, действующей на поверхности заданного рода.
Планируется установить связь между теорией униформизации римановых поверхностей
и орбифолдов, развитой Клейном, Пуанкаре и Кебе, и теорией графов групп Басса-Серра, исследовать спектральные свойства оператора Лапласа на графах.

Ведущий учёный

64907723 

ФИО: Лаптев Ари

 

Ученые степень и звание:
Кандидат физико-математических наук, профессор

Занимаемая должность:

Директор Института Миттаглеффлера (Швеция),
Профессор Имперского Колледжа Лондона (Великобритания),
Профессор Королевского Технологического Института (Швеция)

Области научных интересов:

Спектральная теория уравнений в частных производных. Спектральные оценки для уравнения Шрёдингера. Неравенства Либа — Тирринга.

Научное признание:

Член Шведской королевской академии наук (с 2011 г.).
Президент Европейского математического общества (2007–2010 гг.).
Член редколлегий семи международных научных журналов, в том числе Acta Mathematica.

Награды:

Wolfson Research Merit Award Лондонского королевского общества за исследования неравенств Либа — Тирринга (2007 г.).

28. (jointly with D.Robert and Yu.Safarov) Remarks on the paper of V.Guillemin and
K.Okikiolu: “Subprincipal terms in Szegö estimates”, Mathematical Research Letters 5,
(1998) 57-61,
27. Dirichlet and Neumann eigenvalue problems on domains in Euclidean spaces, Journal
of Functional Analysis, 151, (1997) 531-545.
26. (jointly with M.Birman), Non-standard spectral asymptotics for a two-dimensional
Schrödinger operator, CRM Proceedings and Lecture Notes, 12, (1997) 8-16.
25. (jointly with M.Sh.Birman and M.Solomyak), The negative discrete spectrum of the
operator (-\Delta)^l -\alpha V in L_2(R^d) for d even and 2l\geq d, Arkiv för Matematik,
35, (1997) 87-126.
24. (jointly with Yu.Safarov) A generalization of the Berezin--Lieb inequality, Amer.
Math. Soc. Transl. (2), 175, (1996) 67-79.
23. (jointly with M.Birman) The negative discrete spectrum of a two-demensional
Schrödinger operators, Comm. Pure Appl. Math., XLIX, (1996) 967-997.
22. (jointly with Yu. Safarov), Szegö type limit theorems, Journal of Functional Analysis,
138, (1996) 544-559.
21. On inequalities for the bound states of Schrödinger operators, Operator theory:
Advances and Applications, 78, (1995) Birkhauser Verlag Basel/Switzerland.
20. (jointly with Yu. Safarov and D.Vassiliev), On global representation of Lagrangian
distributions and solutions of Hyperbolic equations, Comm. Pure Appl. Math. XLVII,
(1994) 1411-1456.
19. (jointly with M.Sh.Birman), Discrete spectrum of the perturbed Dirac operator, Arkiv
för Matematik, 32 (1994), 13-32.
18. Asymptotics of the negative spectrum of a class of Schrödinger operators with a large
coupling constant, Proceedings of the AMS, 119, (1993) no. 2, 481-488.
17. (jointly with Yu. Safarov and D.Vassiliev), Global representation of Lagrangian
distributions, Operator Calculus and Spectral Theory (1992), Symposium
on Operator Calculus and Spectral Theory, Lambrecht (Germany), December 1991.
16. (jointly with D.Vassiliev), Magnetoelasticity of thin superconducting shells,
XVIIIth International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Haifa, Israel,
August 22-28, 1992.
15. (jointly with Yu.Safarov and D.Vassiliev), Global oscillatory integrals and Fourier
Integral Operators, Colloque Methodes et Analyse Microlocale, 25 Feb - 1 March, 1991.
14. (jointly with Yu. Safarov), Error estimate in the generalized Szegö theorem, Journees
"Equations aux derivees partielles", Saint-Jean-De-Monts, 1991.
13. && (jointly with M. Levitin and D. Vassiliev), A class of non-linear variational
appearing in the theory of magnetoelasticity of thin superconducting, Nonlinearity, 4,
(1991) 821-833.
12. (jointly with Yu. Safarov), Global solution of the wave equation, Journees "Equations
aux derivees partielles", Saint-Jean-De-Monts, 1990.
11. Estimate of the singular numbers of a class of integral operators, Danish-Swedish
analysis seminar 1986-1987.
10. Translation into Russian (1987): Lars Hörmander "The Analysis of Linear Partial
Differential Operators”, v.2, Springer-Verlag, 1982.
9. (jointly with O.Titova), On characteristic properties of a class of Fourier integral
operators, Problemy Mat. Analiza (LGU) 9, 1983.
8. Estimate of the singular numbers for a class of pseudodifferential operators, Zap.
Nauchn. Sem. LOMI, 110, (1981) 95-99.
7. On the resolvent for an elliptic boundary value problem on a manifold with edges,
Problemy Mat. Analiza, LGU, 8, (1981) 62-72.
6. Estimate of the remainder term in the formula for spectral asymptotics for a class of
integral operators, Problemy Mat. Analiza (LGU), 6, (1977) 62-67.
5. Spectral asymptotics of a class of Fourier integral operators, Trudy Moskovskogo Mat.
Obshch. 43, (1981) 92-115.
4. (jointly with P.E. Hmelnitskij), On estimates of the resolvent of general elliptic boundary
value problems, Prikladnaya matematika, Mezvuzovskij sbornik 1 (135), 10-15, LISI,
Leningrad 1977.
3. Spectral asymptotics for composition of pseudodifferential operators and the reflections
at the boundary. Dokl. AN SSSR 236:4 (1977), 800-803.\cr
2. Spectral asymptotics of degenerate integral operators in a cylinder, Problemy Mat.
Analiza (LGU), 6, (1977), 72-84.
1. Spectral asymptotics of a class of integral operators, Mat. Zametki, 16:5 \ (1974), 741-
750.

Результаты исследований

[4] Bogdanov D.V., Kytmanov A.A., Sadykov T.M.. Algorithmic Computation of Polynomial Amoebas. In the book ’Computer Algebra in Scientific Computing’, Springer, 2016, [Springer]
[3] Mikhalkin E.N., Shchuplev A.V., Tsikh A.K. Amoebas of cuspidal strata for classical discriminant. In the book ’Complex Analysis and Geometry’, Springer, 2015, [Springer]
[2] Kytmanov A.M., Myslivets S.G. Multidimensional integral representations. Problems of analytic continuation. Springer, 2015. 225 с.
[1] Садыков Т.М., Цих А.К. Гипергеометрические и алгебраические функции многих переменных. Наука, М., 2014, 408 с.

  • [32] Капцов О.В. Алгебро-геометрические структуры аналитических уравнений с частными производными. ТМФ, 189:2 (2016), 219–238. [Math-Net.ru]
  • [31] Mednykh A.D., Mednykh I.A. The equivalence classes of holomorphic mappings of genus 3 Riemann surfaces onto genus 2 Riemann surfaces. Siberian Mathematical Journal, Vol. 57, No. 6, pp. 1055–1065, 2016.
  • [30] Bekezhanova V. Goncharova O.N., Stability of the exact solutions describing the two-layer flows with evaporation at interface. Fluid Dynamics Research. [Abstract]
  • [29] Kytmanov A.M., Myslivets S.G. Holomorphic extension of functions along finite families of complex straight lines in an n-circular domain. Siberian Math. J., V.57, № 4. pp.618-631.
  • [28] Kytmanov A.M., Khodos O. On localization of zeros of an entire function of finite order of growth. Complex Anal. Oper. Theory (2016). [Springer]
  • [27] Kytmanov A., Naprienko Ya. An approach to define the resultant of two entire functions. Complex Variables and Elliptic Equations (2016). [Abstract]
  • [26] Laptev A., Peicheva A., Shlapunov A. Finding Eigenvalues and Eigenfunctions of the Zaremba Problem for the Circle. Complex Anal. Oper. Theory. (2016). [Springer]
  • [25] Eliyashev Yu.V. Mixed Hodge structure on complements of complex coordinate subspace arrangements. Moscow Math. J. 16:3 (2016), 545–560. [Math-Net.ru]
  • [24] Fedchenko D., Tarkhanov N. A class of Toeplitz operators in several complex variables. Advances in Applied Clifford Algebras, December 2015, Volume 25, Issue 4, pp 811–828. [Springer]
  • [23] Polkovnikov A.N., On the completeness of root functions of a holomorphic family of non-coercive mixed problem. Complex Variables and Elliptic Equations, Volume 61, Issue 9, 2016. [Abstract]
  • [22] Kytmanov A., Shchuplev A., Zykova T. Algorithm for construction of volume forms on toric varieties starting from a convex integer polytope. Programming and Computer Software, March 2016, Volume 42, Issue 2, pp 99–106. [Springer]
  • [21] Садыков Т.Танабэ С. Максимально приводимая монодромия двумерных гипергеометрических систем. Известия РАН. [Math-Net.ru]
  • [20] Mednykh A., Mednykh I. Isospectral genus two graphs are isomorphic. Ars Mathematica Contemporanea, V. 10 (2016), 223–235. [FullText]
  • [19] Mednykh A., Mednykh I. On γ-hyperellipticity of graphs. Ars Mathematica Contemporanea, V. 10 (2016), 183–192. [FullText]
  • [18] Mednykh A., Nedela R. Counting hypermaps by Egorychev’s method. Anal.Math.Phys. (2015), 1–14. [Springer]
  • [17] Лейнартас Е.К., Некрасова Т.И. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами в рациональных конусах целочисленной решетки. Сиб. матем. ж. Том 57 (2016), Номер 1, с. 98–112. [FullText]
  • [16] Чуешева О.А. Дифференциалы Прима с матричными характерами на конечной римановой поверхности. Сиб. матем. ж. [Math-Net.ru]
  • [15] Bekezhanova V.B., Rodionova A.V. Longwave stability of two-layer fluid flow in the inclined plane. Fluid Dynamics. 2015. V.~50. Issue 6. P.~723–736. [Springer]
  • [14] Любанова А.Ш. О некоторых краевых задачах для систем псевдопараболических уравнений. Сиб. матем. журн., 56:4, 835–852 (2015). [Math-Net.ru] [SpringerLink]
  • [13] Fedchenko D., Tarkhanov N. An index formula for Toeplitz operators. Complex Var. Ell. Eqs. (2015). [Taylor&FrancisOnline]
  • [12] Капцов О.В. Локальный алгебраический анализ дифференциальных систем. ТМФ, 183:3 (2015), 342–358. [Math-Net.ru]
  • [11] Tereshonok E.N. McMullen’s formula and a multidimensional analog of the Weierstrass ζ-function. Complex Var. Ell. Eqs. (2015). [Taylor&FrancisOnline]
  • [10] Mednykh A., Mednykh I. On Wiman’s theorem for graphs. Discrete Math., 338:10 (2015), 1793–1800. [ScienceDirect]
  • [9] Polkovnikov A., Shlapunov A. On non-coercive problems for parameter-dependent elliptic operators. [Math.Commun]
  • [8] Михалкин Е.Н. О монодромии общей алгебраической функции. Сиб. матем. журн., 56:2 (2015), 409–419. [Math-Net.ru] [SpringerLink]
  • [7] Лейнартас Е.К., Рогозина М.С. Разрешимость задачи Коши для полиномиального разностного оператора и мономиальные базисы факторов в кольце полиномов. Сиб. матем. журн., 56:1 (2015), 111–121. [Math-Net.ru] [SpringerLink]
  • [6] Михалкин Е.Н., Цих А.К. Сингулярные страты каспидального типа для классического дискриминанта. Мат. сб., 206:2 (2015), 119–148. [Math-Net.ru]
  • [5] Puzyrev R., Shlapunov A. On a mixed problem for the parabolic Lamé type operator. Journal of Inverse and Ill-posed Problems (2014). [De Gruyter]
  • [4] Mkrtchyan A.J. On Analytic Continuation of Multiple Power Series Beyond the Domain of Convergence. J. of Contemp. Math. Analysis, 50:1 (2015), 22–31. [SpringerLink]
  • [3] Kytmanov A.M., Myslivets S.G. An Analog of the Hartogs Theorem in a Ball of Cn. Math. Nachr., 288:2,3 (2015), 224–234. [Wiley Online Library]
  • [2] Peicheva A., Shlapunov A. On the completeness of root functions of Sturm-Liouville problems for the Lame system in weighted spaces. Z. Angew. Math. Mech., 95:11 (2015), 1202–1214. [Abstract]
  • [1] Куликов В.Р., Степаненко В.А. О решениях и формулах Варинга для систем n алгебраических уравнений от n неизвестных. Алгебра и анализ, 26:5 (2015), 839–848. [Math-Net.ru]
  • [11] Fedchenko D., Tarkhanov N. Boundary value problems for elliptic complexes. Far East Journal of Mathematical Sciences. Volume 100, Issue 9, Pages 1401 — 1420 (November 2016). [Abstract]
  • [10] Bekezhanova V., Shefer I. Microconvection in vertical channel at given heat flux. J. of Physics: Conference Series. [Abstract]
  • [9] Adilkhanov A., Taimanov I. On numerical study of the discrete spectrum of a two-dimensional Schrödinger operator with soliton potential. Commun.Nonlinear Sci.Numer.Simulat. 42 (2017), 83–92. [ScienceDirect]
  • [8] Frank R., Laptev A., Safronov O. On the number of eigenvalues of Schrodinger operators with complex potentials. J. London Math. Soc. (2016). [OxfordJournals]
  • [7] Sadykov T.M. Polynomial Dynamics of Human Blood Genotypes Frequencies. J. of Symbolic Computations. [ScienceDirect]
  • [6] Ekholm T., Kovarik H., and Laptev A. Hardy inequalities for p-Laplacians with Robin boundary conditions. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications Volume 128, November 2015, Pages 365—379. [ScienceDirect]
  • [5] Frolenkov I., Kriger E. Identification Problem of Nonlinear Lowest Term Coefficient in the Special Form for Two-Dimensional Semilinear Parabolic Equation with Overdetermination Conditions on the Smooth Curve. Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2016, 9(2), 180–191. SibFU
  • [4] Th. Hoffmann-Ostenhof, A.Laptev. Hardy inequalities with homogenuous weights. J. Funct.Anal.268 (2015) 3278–3289. [ScienceDirect]
  • [3] Ilyin A., Laptev A., Zelik S. Sharp interpolation inequalities for discrete operators and applications. Bull. Math. Sci. Volume 5, Issue 1, pp 19—57. [Springer]
  • [2] Нормов А.И., Садыков Т.М. Аналитическая сложность кластерных деревьев. ПДМ, 2014, № 2, 79–87. [Math-Net.ru]
  • [1] Bushueva N., Kuzvesov K., Tsikh A. On the asymptotic of homological solutions for linear multidimensional differece equations. J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 7:4 (2014), 417–430. [Math-Net.ru]
Back to top