МЕГАГРАНТЫ

Лаборатория математической гидродинамики

О лаборатории

Наименование проекта
Исследование задач математической гидродинамики

№ договора:

14.W03.31.0015

Наименование организации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Воронежский государственный университет"

Область научных исследований
Математика

Основной целью проекта является исследование ряда важных и нерешенных на данный момент задач математической гидродинамики, получение научных результатов мирового уровня. Для достижения этой цели подобран коллектив, ядро которого состоит из ученых мирового уровня, предполагается создание лаборатории, в которой будут проводиться исследования.
Второй основной целью данного проекта является привлечение молодых учёных, аспирантов и студентов к научным исследованиям с целью дать им возможность закрепления в науке. Для этого предполагается создание ведущими учеными специальных курсов лекций для студентов математического факультета и факультета прикладной математики и механики Воронежского государственного университета, проведение семинарских занятий.
В связи с поставленными целями проекта, можно выделить следующие задачи (научные задачи) проекта:
1. Исследование задачи протекания для уравнений динамики вязкого газа и ее применение к моделированию работы тепловых машин.
2. Исследование вариационных задач конформной геометрии и теории потенциала и применение полученных результатов к доказательству существования глобального гладкого периодического решения нелинейной задачи о волнах в глубоком океане, покрытом льдом.
3. Доказательство аналога теоремы Лиувилля о постоянстве решений стационарной системы уравнений Навье-Стокса в трехмерном пространстве при условии осевой симметрии в предположении, что скорость потока на бесконечности стремится к нулю.
4. Развитие теории глобальных и траекторных аттракторов диссипативных бесконечномерных динамических систем и применение этой теории для изучения долговременного и предельного поведения решений ряда фундаментальных моделей, возникающих в математической физике, гидродинамике и геофизической гидродинамике, которые описываются нелинейными уравнениями с частными производными.
5. Исследование разрешимости ряда начально-краевых задач неньютоновой гидродинамики (модели движения сред с памятью, среды Бингама и т.д.) и исследование их аттракторов как в автономном, так и в неавтономном случае (равномерные аттракторы, пулбек-аттракторы).
6. Исследование разрешимости, оптимального управления и качественного поведения альфа-моделей гидродинамики.
7. Построение теории стабилизации для системы нормального типа, связанной с системой Гельмгольца, посредством стартового управления, а также построить аналогичную теорию, когда используется импульсное или распределенное управления с носителем в фиксированной подобласти трехмерного тора. С помощью описанного результата построить теорию нелокальной стабилизации трехмерной системы Гельмгольца посредством импульсного, а также распределенного управлений.
8. Исследование задачи о малых движениях вязкоупругого тела гиперболического типа. Исследование равномерной экспоненциальной устойчивости абстрактной сильно непрерывной полугруппы, генерируемой операторным блоком специального вида.
9. Развитие теории несбалансированного оптимального переноса массы и установление ее отношения с другими областями математики, такими как метрическая геометрия, дифференциальная геометрия, вариационное исчисление, уравнения Гамильтона-Якоби, выпуклый анализ, потоки градиента на метрических пространствах, эволюционные уравнения в частных производных, динамические системы.
Также в связи со второй целью проекта надо выделить задачу создания рабочих мест для молодых учёных, аспирантов и студентов Воронежского государственного университета в лаборатории, которая будет создана для выполнения проекта.

Ведущий учёный

plotnikovpi 0 

ФИО: Плотников Павел Игоревич

 

Дата рождения 04.11.1947

Гражданство
Россия

Ученые степень и звание

Доктор наук

Место работы

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Новосибирский национальный исследовательский государственный университет

Область научных интересов

Теория дифференциальных уравнений в частных производных, гидродинамика, нелинейная теория волн, КАМ теория, нелинейный функциональный анализ

Достижения и награды

П.И.Плотников - специалист в области теории дифференциальных уравнений и математической физики. Его научная деятельность связана с математическими проблемами теории нелинейных волн, математическими вопросами теории фазовых превращений и теории материалов, а также с задачами динамики вязкого газа.
Наибольшую известность среди отечественных и зарубежных специалистов получили его результаты по проблеме Стокса в теории волн и проблеме малых знаменателей в теории гамильтоновых систем с бесконечным числом степеней свободы. Среди полученных в этом направлении результатов - доказательство первой и второй гипотез Стокса, сформулированных в 1880 году в знаменитой работе Стокса об экстремальных волнах, доказательство разрешимости задачи о периодических нелинейных колебаниях жидкости со свободной поверхностью, доказательство существования бесконечного числа вторичных бифуркаций решения задачи об уединенных волнах, доказательство существования трехмерных асимметрических волновых пакетов, распространяющихся по поверхности воды с постоянной скоростью. Для решения этих задач им были разработаны: метод аналитического продолжения решений задач гидродинамики со свободными границами, вариант теории Нэша-Мозера для задачи о стоячих волнах, бесконечномерная версия метода Флоке для псевдодифференциальных уравнений с малыми знаменателями, теория топологического индекса Конли для критических точек гладких функционалов в бесконечномерном пространстве.
В 1994 году цикл работ П.И. Плотникова по нелинейной теории волн был отмечен премией М. А. Лаврентьева Российской академии наук.

  • Article. Plotnikov P. I. Existence of three-dimensional waves on the surface of an ideal fluid  // Journal of Soviet Mathematics. Consultants Bureau. United States. - P.399-405. - ISSN 00904104. In the paper one considers the problem of the three-dimensional periodic waves on the surface of an ideal fluid. One proves an existence theorem. © 1983 Plenum Publishing Corporation.
  • Article. Plotnikov P. I. Ill-posedness of the nonlinear problem of the development of Taylor instability  // Journal of Soviet Mathematics. Consultants Bureau. United States. - P.824-829. - ISSN 00904104. One considers the problem of unsteady motion of a layer of an ideal incompressible fluid with a free boundary under the presence of Taylor instability. One proves a theorem on the nonexistence of solutions In the class of initial data possessing a finite smoothness. © 1983 Plenum Publishing Corporation.
  • Article. Plotnikov P. I. Generalized solutions to a free boundary problem of motion of a non-newtonian fluid  // Siberian Mathematical Journal. Maik Nauka/Interperiodica Publishing. Russian Federation. - P.704-716. - ISSN 00374466. - EISSN 15739260.
  • Article. Plotnikov P. I. Morse theory for conditionally-periodic solutions to Hamiltonian systems  // Siberian Mathematical Journal. Maik Nauka/Interperiodica Publishing. Russian Federation. - P.590-604. - ISSN 00374466. - EISSN 15739260.
  • Article. Plotnikov P. I. On a certain class of curves arising in a free boundary problem for stokes flows  // Siberian Mathematical Journal. Maik Nauka/Interperiodica Publishing. Russian Federation. - P.533-540. - ISSN 00374466. - EISSN 15739260.
  • Article. Plotnikov P. I. Passage to the limit over a small parameter in the cahn-hilliard equations  // Siberian Mathematical Journal. Maik Nauka/Interperiodica Publishing. Russian Federation. - P.550-566. - ISSN 00374466. - EISSN 15739260.
  • ConferencePaper. Plotnikov P. I. Forward-backward parabolic equations and hysteresis  // Journal of Mathematical Sciences. Plenum Publishers. United States. - P.747-766. - ISSN 10723374. The following initial-boundary value problem for the forward-backward parabolic equation in a bounded region Ω ∈ Rd, 1 ≤ d ≤ 3, is considered: Ω × (0, T): ut = Δφ(u), ∂Ω × (0,T): ∇φ(u) · n = 0, Ω:u(·, 0) = u0 ∈ L∞(Ω), φ(u0) ∈ H1 (Ω). It is assumed that the function φ decreases monotonically on the interval (-1, 1), increases outside it, and that |u 0| ≥ 1. It is proved that this problem has entropy solutions which describe a phase transition process with hysteresis. ©1999 Kluwer Academic/Plenum Publishers.
  • Article. Luckhaus S., Plotnikov P. I. Entropy solutions to the Buckley-Leverett equations  // Siberian Mathematical Journal. Maik Nauka/Interperiodica Publishing. Russian Federation. - P.329-348. - ISSN 00374466. - EISSN 15739260.
  • Article. Plotnikov P. I., Toland J. F. Nash-Moser theory for standing water waves  // Archive for Rational Mechanics and Analysis. Springer Verlag. Germany. - P.1-83. - ISSN 00039527. - EISSN 14320673. We consider a perfect fluid in periodic motion between parallel vertical walls, above a horizontal bottom and beneath a free boundary at constant atmospheric pressure. Gravity acts vertically downwards. Suppose the underlying flow is two-dimensional in a vertical plane orthogonal to the walls and satisfies the constant-pressure condition on the free boundary where surface tension is neglected. Suppose also that it is symmetric about a plane midway between the walls, and periodic in time. Such motion, which can be extended to give a two-dimensional flow of infinite horizontal extent that is periodic in space as well as in time, is referred to as a standing wave. Unlike progressive (or steady) Stokes waves, standing waves are not stationary relative to a moving reference frame. The purpose of this paper is to show how the Nash-Moser iteration method can be adapted to give a rigorous proof of the existence of small-amplitude standing waves for which the normal component of pressure gradient on the free surface satisfies additional constraints. These constraints are imposed in advance to facilitate the a priori bounds needed for the Nash-Moser method and only solutions satisfying them have been found. (They have no obvious analogue in the theory of Stokes waves.) The presentation is self-contained and includes a version of the Nash-Moser theorem tailored for the purpose. The imposed constraints are used to define a manifold upon which iteration is carried out and a detailed account from first principles of the a priori bounds required to implement the method is given. We use the Lagrangian form of the Euler equations throughout.
  • Article. Plotnikov P. I., Klepachëva A. V. The phase field equations and gradient flows of marginal functions  // Siberian Mathematical Journal. Maik Nauka/Interperiodica Publishing. Russian Federation. - P.551-567. - ISSN 00374466. - EISSN 15739260.
  • Article. Plotnikov P. I. Proof of the Stokes conjecture in the theory of surface waves  // Studies in Applied Mathematics. Blackwell Publishing Inc.. United Kingdom. - P.217-244. - ISSN 00222526. - EISSN 14679590. This article gives a proof of the famous Stokes conjecture that a gravity wave of greatest height on water has a corner with contained angle 2π/3 at its singular point.
  • Article. Plotnikov P. I., Toland J. F. On the second stokes conjecture for the wave of extreme form  // Doklady Akademii Nauk. Izdatel'stva Nauka. Russian Federation. - P.318-321. - ISSN 08695652.
  • Article. Plotnikov P. I., Toland J. F. On the second stokes conjecture for the wave of extreme form  // Doklady Mathematics. Maik Nauka/Interperiodica Publishing. Russian Federation. - P.366-368. - ISSN 10645624.
  • Article. Iooss Gérard, Plotnikov Pavel, Toland John Standing waves on infinite depth | Ondes de gravité stationnaires en profondeur infinie  // Comptes Rendus Mathematique. Elsevier Masson. France. - P.425-431. - ISSN 1631073X. The two-dimensional standing wave problem, for an infinitely deep layer, is considered, based on the formulation of the problem as a second order non local PDE. Despite the presence of infinitely many resonances in the linearized problem, we use the Nash-Moser implicit function theorem to prove the existence of standing waves corresponding to values of the amplitude having 0 as a Lebesgue point. © 2004 Académie des sciences. Published by Elsevier SAS. All rights reserved.
  • Article. Plotnikov P. I., Toland J. F. Convexity of Stokes Waves of Extreme Form  // Archive for Rational Mechanics and Analysis. Springer Verlag. Germany. - P.349-416. - ISSN 00039527. - EISSN 14320673. Existence is established of a piecewise-convex, periodic, planar curve 5 below which is defined a harmonic function which simultaneously satisfies prescribed Dirichlet and Neumann boundary conditions on S. In hydrodynamics this corresponds to the existence of a periodic Stokes wave of extreme form which has a convex profile between consecutive stagnation points where there is a corner with a contained angle of 120°.
  • Article. Plotnikov P. I., Sokolowski J. Stationary boundary value problems for Navier-stokes equations with Adiabatic Index γ < 3/2  // Doklady Mathematics. Maik Nauka/Interperiodica Publishing. Russian Federation. - P.535-538. - ISSN 10645624.
  • ConferencePaper. Plotnikov Pavel I., Sokołowski Jan On drag minimization for compressible isothermal Navier-Stokes equations  //  Suppose that compressible Newtonian fluid occupies the bounded region Ω ⊂ ℝ2. We assume that Ω = B\S, where B is a sufficiently large hold all containing inside a compact obstacle S. The fluid density ρ: Ω → ℝ+ and the velocity field u: Ω → ℝ2 are governed by the NavierStokes equations. The existence of an optimal domain which minimizes the drag (Equestion presented) is shown [1] under the appropriate restrictions on admissible domains. The existence result is established by an application of the geometric measure theory to the compressible Navier-Stokes equations in the case of isothermal flow with the pressure p(ρ) = ρ i for the adiabatic constant γ = 1.
  • Article. Plotnikov P. I., Sokolovskij Ya Boundary-value problems for Navier-Stokes equations with adiabatic exponent γ<3/2  // Doklady Akademii Nauk. Izdatel'stva Nauka. Russian Federation. - P.166-169. - ISSN 08695652. The stationary boundary-value problem is considered for the equations obtained via time discretization of the system of Navier-Stokes equations describing motion of compressible viscous fluid in the constrained domain. The problem is reduced to determining the structure of defect measure and the conditions, under which this measure = 0. A new approach to this problem is suggested.
  • Article. Plotnikov P. I., Sazhenkov S. A. Cauchy problem for the Graetz-Nusselt ultraparabolic equation  // Doklady Mathematics. Maik Nauka/Interperiodica Publishing. Russian Federation. - P.234-237. - ISSN 10645624.
Back to top