МЕГАГРАНТЫ

Лаборатория зеркальной симметрии

О лаборатории

Наименование проекта
Зеркальная симметрия и автоморфные формы

№ договора:

14.XXX.31.0050

Наименование организации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"

Область научных исследований
Математика

Основной целью проекта является геометризация теории категорий, а его исходная точка — гипотеза гомологической зеркальной симметрии, сформулированная Концевичем. Это одна из самых фундаментальных гипотез современной математики. “Экспериментальную” базу гипотезы составляет открытая физиками двойственность (зеркальная симметрия) между суперконформными теориями поля. Проект направлен на развитие нового прорывного направления в математике — категорной кэлеровой геометрии. Эта новая яркая идея реализуется в работах Кацаркова, Концевича, Симпсона.
Зеркальная симметрия, как основа построения моделей теории элементарных частиц была открыта физиками в 90-х годах. Категорная кэлерова геометрия глубоко связана с этими моделями. Статистические суммы в физических теориях и производящие функции геометрических инвариантов многообразий являются специальными функциями, такими как произведения Борчердса или эллиптические гипергеометрические интегралы, определяющие лоренцевы алгебры Каца–Муди, двойственность Зайберга и математические инварианты многообразий, стоящих за всеми этими теориями.
Концепция зеркальной симметрии порождает новые математические дисциплины и новый взгляд на теоретическую физику. Следующие шаги современной теории фундаментальных взаимодействий в природе тесно связаны с развитием этих математических и физических дисциплин. Главной целью планируемой мультидисциплинарной лаборатории будет объединение усилий специалистов из различных областей, таких как геометрия, топология, теория автоморфных форм и алгебр Ли, теория чисел, математическая физика, для решения основных теоретических задач математики и физики, связанных с зеркальной симметрией. Кроме чисто научных достижений проект будет иметь сильное влияние на российскую математику, сохраняя ее лидирующее положение в мире.
Гомологическая зеркальная симметрия — концепция, сформулированная Концевичем, связывает объекты из разных областей математики. Первая область — это комплексная геометрия, являющееся очень жесткой наукой, а вторая — симплектическая топология, объекты которой, напротив, допускают большую свободу деформаций, что затрудняет их фиксацию. Гипотеза гомологической зеркальной симметрии утверждает, что каждое симплектическое многообразие имеет двойственный объект в комплексной геометрии, такой что основной его симплектический инвариант, категория Фукая, совпадает с другим основным инвариантом, производной категорией, располагающийся на двойственной стороне в области комплексной геометрии. Гомологическая зеркальная симметрия является одной из самых фундаментальных гипотез современной математики, а ее методы превращаются в новый язык современной теоретической физики.
В ходе выполнения проекта предполагается реализовать стратегические геометрические следствия гомологической зеркальной симметрии и развить следующие теории:
1. категорная кэлерова геометрия;
2. теория превратных пучков категорий и ее параллель с неабелевой теорией Ходжа и интегрируемыми системами;
3. категорная теория Лефшеца;
4. теория категорных мультипликативных идеалов.
На их основе мы предполагаем установить
1. связь между автоморфными формами и категорной теорией Нетера–Лефшеца;
2. связь между автоморфными формами и статистическими суммами с новой точки зрения категорной кэлеровой геометрии
и осуществить
1. классификацию лоренцевых алгебр Каца–Муди, соответствующих автоморфным формам, струнным статистическим суммам и зеркальной симметрии;
2. классификацию двойственностей Зайберга и связанных с ними тождеств эллиптических гипергеометрических функций.

Ведущий учёный

katzarkov l00 

ФИО: Кацарков Людмил Василев

 

Дата рождения 12.12.1961

Гражданство
США, Болгария

Ученые степень и звание
Доктор философии

Место работы

Университет Майами

Область научных интересов

Алгебраическая геометрия, гомологическая зеркальная симметрия.

Достижения и награды

Кацарковым был получен ряд престижных наград, таких как Sloan Fellowship, NSF Career Award, Clay Fellowship, Simons Fellowship. С 2008 года он является главным организатором большой ежегодной конференции в Майами, а также ряда других конференций и конгрессов. Он является одним из руководителей проекта Simons Collaboration.

За последние 10 лет Кацарков написал 39 статей, многие из которых напечатаны в ведущих журналах. Среди его соавторов три лауреата медалей Филдса – Бордчердс, Дональдсон, Концевич. Интересы Кацаркова лежат во многих областях математики, от классической алгебраической геометрии до самых современных категорных методов, а также в симплектической геометрии, динамических и интегрируемых системах. Это позволило ему найти новые неожиданные подходы к классическим проблемам, таким как гипотеза Шафаревича для линейных групп, связь программы Мойшезона с теорией превратных пучков категорий, динамическими системами категорий.

Representations of fundamental groups whose Higgs bundles are pullbacks
Katzarkov, L. & Pantev, T. 1994 In : Journal of Differential Geometry. 39, 1, p. 103-121 19 p.

Nilpotent groups and universal coverings of smooth projective varieties
Katzarkov, L. Feb 1997 In : Journal of Differential Geometry. 45, 2, p. 336-348 13 p.

Symplectic four-manifolds and projective surfaces
Bogomolov, F. & Katzarkov, L. 1998 In : Topology and its Applications. 88, 1-2, p. 79-109 31 p.

On the universal coverings of algebraic surfaces
Katzarkov, L. & Ramachandran, M. Jul 1998 In : Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Superieure. 31, 4, p. 525-535 11 p.

Families of K3 surfaces
Borcherds, R. E., Katzarkov, L., Pantev, T. & Shepherd-Barron, N. I. Jan 1998 In : Journal of Algebraic Geometry. 7, 1, p. 183-193 11 p.

Back to top